UNIDAD 5

 DEFINICIÓN TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝,

1. T (u+v)= Tu+Tv
2. T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.

Tres notas sobre notación.

1. Se escribe T: V → W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
2. Se escriben indistintamente Tv y T (v). denotan lo mismo; las dos fases se leen “T de v”. eso es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.
3. Muchas de las definiciones y teoremas se cumplen también para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).

• Terminología: las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales.
• Nota: No toda transformación que se ve lineal es en realidad lineal. Por ejemplo, defina T: R→R por Tx= 2x + 3. Entonces la grafica de {(x, Tx): xϵ R} es una línea recta en el plano xy; pero T no es lineal porque T(x+ y) = 2(x +y) + 3 = 2x + 2y + 3y Tx + ty = (2x+3) + (2y+3) = 2x + 2y + 6. Las únicas transformaciones lineales de R en R son funciones de la forma f (x) = mx para algún número real m. así, entre todas las funciones cuyas graficas son rectas, las únicas que son lineales son aquellas que pasan por el origen. En algebra y calculo una función lineal con dominio R esta definida como una función que tiene la forma f (x) = mx + b. asi, se puede decir que una función lineal es una transformación de R en R si y solo si b (la ordenada al origen) es cero.

 EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES’ Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal

y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

EJEMPLOS

Rotación por un ángulo Ө

Sea 0 ≤ Ө < 2π un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de R^2

en R^2 que gira cada vector U=( U1,U2) un ángulo θ para obtener un vector T(u)=(v1,v2)

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

• Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:

v1= ||T(u)||٠cos(α+Ө) = ||(u)||٠(cos α ٠ cos Ө - sen α ٠ sen Ө )

v2= ||T(u)||٠sen(α+Ө) = ||(u)||٠(sen α ٠ cos Ө - cos α ٠ sen Ө )

Distribuyendo y usando el hecho de que U1=||u|| cos α y U2=||u|| sen α

tenemos que:

v1= U1 cos Ө - U2 sen Ө

v2= U2 cos Ө + U1 sen Ө

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación T:R^2 → R^2

tal que: T (U1 , U2) = (U1 cos Ө - U2senӨ,U2 cos Ө + U1 sen Ө )

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo Ө

y es lineal, ya que:

T [(U1 , U2)+ λ(v1 , v 2)] = T (u1 + λ v1 , u2 + λ v2 )

= ((u1 + λ v1)cos Ө - (u2 + λ v2) sen Ө, (u2 + λ v2) cos Ө + (u1 + λ v1) sen Ө)

= (u1 cos Ө - u2 sen Ө, u2 cos Ө + u1 sen Ө) + λ (v1cos Ө - v2 sen Ө , v2 cos Ө + v1 sen Ө)

= T(u1 , u2) + λ T (v1 , v2)

Reflexión sobre el eje x

En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de R^2 en R^2 que cada vector u = (u1 , u2) lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector T (u) = ( v1 , v2)

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

↑→

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:

T(u1 , u2)=(u1 , - u2)

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

T[(u1 , u2)+ λ (v1 , v2)] = T(u1 + λ v1 , u2 + λ v2)

=(u1 + λ v1 , - u2 - λ v2)

=(u1 , - u2) + λ (v1 , - v2)

T=(u1 , u2) + λ T (v1 , v2)

Proyección ortogonal sobre el eje x

En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de R^2 en R^2 que a cada vector u=(u1 , u2) lo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtener un vector T(u)=(v1, v2)

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

↑→

También este caso es sencillo, pues es obvio que T queda definida como sigue:

T(u1, u2) = (u1 , 0)

Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x, y es lineal, ya que:

T[(U1 , u2) + λ (v1 , v2)] = T (u1+ λ v1 , u2 + λ v2)

=(u1 + λ v1 , O) = (u1 , O) + λ (v1 , O)

= T (u1 , u2) + λ T(v1, v2)

Este último ejemplo tiene más fondo desde el punto de vista de Álgebra Lineal. Consideremos el siguiente subespacio de R^2

W1 = {(x,0)/x Є R }

Vemos que éste no es sino el eje x (sobre quien se efectuó la proyección). Ahora bien, W1 tiene un complemento directo, a saber,

W2 = {(0,y)/y Є R }

De tal forma que cada vector (x , y) Є R^2 se escribe en forma única como suma de un vector de W1 más un vector de W2 como sigue:

(x,y) = (x,0)+(0,y)

Notamos que la proyección sobre el eje x, manda a (x,y) sobre (x,0) , el cual es precisamente el término correspondiente a W1 en la descomposición anterior.

Todo esto nos induce a definir proyecciones sobre subespacios en general como sigue:

Definición. Sea V un espacio vectorial y sea W1 c V un subespacio tal que existe W2 el complemento directo de W1 en V, es decir tal que V = W1 + W2 , de tal forma que cada vector v Є V se escribe en forma única como:

v = x + y

Con: x Є W1 y y Є W2

Definimos entonces la proyección sobre W 1 , como aquella transformación T:V→V tal que T(v) = x.

Lo primero que observamos es que esta transformación es lineal, ya que si v1=x1+y1 , v2=x2+y2 con xi Є W1 y yi Є W2 , entonces v1+ λv2=x1+y1+λ(x2+y2)=(x1+λx2)+(y1+λy2) con x1+λx2 Є W1 y y1+λy2 Є W2

Por lo tanto, de acuerdo a la definición de T, tenemos que:

T(v1+ λ v2)=x1+λ x2=T(v1+λ T(v2)

En segundo lugar, vemos que esta definición, incluye como caso especial a la de la proyección sobre el eje x. Sin embargo, vemos que no es suficiente con especificar sobre que subespacio queremos proyectar, sino también es necesario aclarar cual es el complemento directo que se estará usando, ya que un mismo subespacio puede tener distintos complementos directos. El mismo eje x, tiene el siguiente complemento directo:

W2= {(X , X) / X Є R }

En efecto, es claro que W2 es un subespacio de R^2 y W1 --- W2= (0 , 0)

Además, cada (X , Y) Є R^2 se escribe como:

(x,y) = (x-y,0) + (y,y) Є W1 --- w2

Todo esto demuestra que R^2 = W1+W2

Usando esta descomposición y la definición de proyección, tendremos que en este caso, la transformación queda dada como sigue:

T(x,y)=(x-y,0)

LA MATRIZ DE TRANSFORMACION LINEAL

Sea una transformacion lineal es posible encontrar una matriz asociada a una transformacion lineal Desarrollo:

Si V y W son espacios de dimensi¨®n finita, y se eligen bases en estos espacios, entonces toda transformaci¨®n lineal de V a W puede ser representada como una matriz. Por otro lado, toda matriz real m por n determina una transformaci¨®n lineal de esta forma f(x) = Ax

Sea una base de V. Entonces todo vector v en V est¨¢ determinado de manera ¨ nica por los coefientes en : Si f : V ¡ú W es una transformacion lineal,

Lo cual implica que esto completamente determinada por los valores

Ahora es una base de W. Podemos representar cada f(vj) como

Entonces la funci¨®n f est¨¢ enteramente determinada por los valores ai,j.. Si se trata de transformaciones de generalmente se usa la base can¨®nica.

Si cambiamos las bases, entonces la matriz ser¨¢ distinta, pero representar¨¢ la misma transformaci¨®n

esta transformacion solo sirve en plano que sean de x,y,z para pasar a x,y

REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Si A es una matriz de m x n y T: Rn → Rm está definida por Tx= Ax.

Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rn en Rm existe una matriz A de m x n tal que Tx= Ax para todo x € Rn. este hecho es sumamente útil. Si Tx=Ax, entonces un T= NA e imagen T=RA. Más aún, v (T) = dim un T =v(A) y ρ (T) = dim imagen T= ρ(A). Así se puede determinar núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal de Rn  Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Todavía mas, una vez que se sabe que Tx= Ax, se puede evaluar Tx para cualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices.

Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar por una matriz.

TEOREMA 1:

Sea T: Rn → Rm una transformación lineal. Entonces existe una matriz única de m x n, AT tal que.

Tx = AT x para toda x € Rn.

DEMOSTRACIÓN

Sea W1 = Te1, W2= Te2,…Wn = Ten. sea AT la matriz cuyas columnas son W1, W2,…, Wn y hagamos que AT denote también a la transformación de Rn → Rm, que premultiplica un vector en Rn por AT .

Así AT ei= Wi para i=1,2,…,n.

Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx= AT x y que Tx= BT x para todo x € Rn. Entonces, AT x = BT x o estableciendo CT = AT - BT, se tiene que CT x =0 para todo x € Rn. En particular, CT ei es la columna i de CT. Así, cada una de las n columnas de CT es el m- vector cero y CT=0, la matriz cero de m x n. Esto muestra que AT = BT y el teorema queda demostrado.

OBSERVACIÓN 1: En este teorema se supone que todo vector en Rn y Rm está expresado en términos de los vectores de la base estándar en esos espacios. Si se eligen otras bases para Rn y Rm, por supuesto, se obtendrá una matriz AT diferente.

OBSERVACIÓN 2: La demostración del teorema muestra que es sencillo obtener AT como la matriz cuyas columnas son vectores Tei.

DEFINICIÓN1: Matriz de transformación. La matriz AT en el teorema 1 se llama matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T. Nota: La matriz de transformación AT está definida usando las bases estándar tanto en Rn como en Rm. Si se usan otras bases, se obtendrá una matriz de transformación diferente.

TEOREMA 2 Sea AT la matriz de transformación correspondiente a la transformación lineal T. Entonces:

i. Imagen T= imagen A = C AT

ii. Ρ (T) = ρ (AT)

iii. Un T = N AT

iv. v (T) = v(AT)

TEOREMA 3 sean V un espacio vectorial de dimensión n, W un espacio vectorial de dimensión m y T: V→W una transformación lineal. Sea B1 {v1, v2, …, vn} una base para V y bsea B2 ={w1, w2, …, wm} una base para W. entonces existe una matriz única AT de m x n tal que (Tx)B2 = AT (x)B1

TEOREMA 4 Sean Vy W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V=n. Sea T:V W una transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las bases B1 en V y B2 en W. Entonces:

i. ρ(T) = ρ (AT)

ii. v(T) = v(AT)

iii. v(T) + ρ(T) =n

Nota: i) y ii) implican que ρ (AT) y v(AT) son independientes de las bases B1 y B2

TEOREMA 5 Sea Rn → Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de transformación de T respecto a las bases estándar Sn y Sm en Rn y Rm, respectivamente. Sea A1 la matriz de transición de B1 a la base Sn en Rn sea A2 la matriz de transición de B2 a la base Sm en Rm. Si AT denota la matriz de transición de T respecto a las bases B1 y B2, entonces.

AT = A2–1C A1

GEOMETRIA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES DE R2 EN R2

Sea T: R2 → R2 una transformación lineal con representación matricial AT. Ahora se demostrara que si AT es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión de una o más transformaciones especiales, llamadas expansiones, comprensiones, reflexiones y cortes. Expansiones a lo largo de los ejes x o y: Una expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que multiplica a la coordenada x de un vector en R2 por una constante c> 1.

Compresión a lo largo de los ejes x o y: Una comprensión a lo largo de los ejes x o y es una transformación lineal que multiplica a la coordenada x o y de un vector en R2 por una constante positiva c>1. La representación matricial de una compresión es la misma que para una expansión excepto que para la comprensión 0<c<1 mientras que para la expansión c>1.

Cortes: Un corte a lo largo del eje x es una transformación que toma al vector (x,y)y lo convierte en un nuevo vector (x + cy)donde c e una constante que puede ser positiva o negativa. y

TEOREMA 6 Toda matriz elemental E de 2 x 2 es uno de los siguientes:

i. la representación matricial de una expansión a lo largo del eje x o y

ii. La representación matricial de una comprensión a lo largo del eje x o y

iii. La representación matricial de una reflexión respecto a la recta y=x

iv. La representación matricial de un corte a lo largo del eje x o y

v. El producto de la representación matricial de una reflexión respecto al eje x o y y la representación matricial de una expansión o comprensión.

TEOREMA 7 Sea T: R2→ R3 una transformación lineal tal que su representación matricial es invertible. Entonces T se puede obtener como una sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones.

Nota: AT es invertible respecto a todas las bases en R2 o no es invertible respecto a ninguna.

Álgebra de las transformaciones lineales.

Definición. Un álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre F en el que se tiene definida una operación producto que satisface para todos los elementos T1, T2, T3 Î A y a ÎF:

 T1(T2+T3)=T 1 T 2?+T 1 T 3?

 (T2+T3)T1=T 2 T 1?+T 3 T 1?

 a(T 1 T 2)=(aT1)T2=T1(aT2)

Si además se cumple que

 (T 1 T 2)T3=T1(T 2 T 3?)

entonces A es un álgebra asociativa

Definición. Sean V, U y W espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Sean T1:VàU y T2:UàW dos transformaciones lineales. Se define la composición de T2 seguida de T1 T2°T1 como la función de V a W (T2°T1) :VàW tal que (T2°T1)(v)=T2(T1(v))

Proposición.

 Si T1 y T2 son TL, entonces T2°T1 también lo es.

Demostración.

 Sean u,v ÎV y a,b Î F, entonces

 (T2°T1)(av+bu)=T2(T1(av+bu))=T2(aT1(v)+bT1(u))

 = a (T2°T1)(v)+b (T2°T1)(u)

 (T2°T1) es T.L.

Puede verse que Hom(V,V) con la composición es un álgebra asociativa.

Aplicaciones de las Transformaciones Lineales

Se aplican en sistemas de ecuaciones lineales, en matrices y en un sin número de problemas, gracias a las transformaciones lineales sabemos el dominio e imagen y teniendo esto saber si es un espacio vectorial.

Dada la transformación lineal

Determinar la matriz asociada a en la base canónica de cada espacio. Solución:

Sean <imagen> Las bases canónicas de<img>

,   respectivamente. Calculemos 

T(1;0;0) = (5;1)

T(0;1;0) = (−2;4)
 T(0;0;1)  = (3;−2)

y escribamos cada vector en combinación lineal de la base C (5;1) = 5(1;0)+1(0;1)

(−2;4)  = −2(1;0)+4(0;1) 

(3;−2) = 3(1;0)−2(0;1)