UNIDAD 4


Espacio vectorial


Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación 
suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie
 de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los
 elementos del cuerpo se les llamará escalares.
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII:
 geometría analítica,matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se 
debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales 
provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional 
requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una 
adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos 
teoría más rica y elaborada.

Archivo:Vector space illust.svg

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería.
 Se utilizan en métodos como lasseries de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de 
compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolverecuaciones en derivadas parciales
Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos 
geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades 
mediante técnicas de linealización.


Propiedades

Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean 0_1^{} y 0_2^{} dos vectores neutros, entonces:
  • u + 0_1 = u = u + 0_2 \Rightarrow u + 0_1 = u + 0_2 \Rightarrow 0_1 = 0_2 \Rightarrow  \exists ! 0 \in V .
Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:
supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean -u_1^{} y -u_2^{} dos vectores opuestos de u_{}^{},
 entonces, como el neutro es único:
  • u -u_1 = 0 = u -u_2 \Rightarrow u -u_1 = u -u_2 \Rightarrow -u_1 = -u_2 \Rightarrow  \exists ! -u \in V.
Unicidad del elemento 1_{}^{} en el cuerpo K_{}^{}:
supongamos que 1 no es único, es decir, sean 1_1^{} y 1_2^{} dos unidades, entonces:
  • a1_1 = a = a1_2 \Rightarrow a1_1 = a1_2 \Rightarrow  1_1 = 1_2 \Rightarrow  \exists ! 1 \in K.
Unicidad del elemento inverso en el cuerpo K_{}^{}:
supongamos que el inverso a_{}^{-1} de a, no es único, es decir, sean a_1^{-1} y a_2^{-1} dos opuestos de a_{}^{},
 entonces, como el neutro es único:
  • aa_1^{-1} = 1 = aa_2^{-1} \Rightarrow  aa_1^{-1} = aa_2^{-1} \Rightarrow  a_1^{-1} = a_2^{-1} \Rightarrow  \exists ! a^{-1} \in K.
Producto de un escalar por el vector neutro:
  • a0 = a(0+0)=a0+a0 \Rightarrow 0=a0_{}^{}.
Producto del escalar 0 por un vector:
  • 0u = (0+0)u=0u+0u \Rightarrow 0=0u_{}^{}.
Si  au=0 \Rightarrow  a=0 o u=0_{}^{}.
  • Si a=0 es cierto. Si  a \neq 0 \Rightarrow  \exists ! a^{-1} \in K : a^{-1}a=1 \Rightarrow  u=1u=(a^{-1}a)u=a^{-1}(au)=a^{-1}0=0 \Rightarrow  u = 0.
Signos equivalentes:
  • u+(-1)u=1u+(-1)u=(1-1)u=0u=0 \Rightarrow (-1)u=-u_{}^{}.
Sub espacio vectorial:
Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es 
un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.
Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por
 un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.
Combinación Lineal:
Se denomina combinación lineal a u vector V en un espacio vectorial U u un cuerpo h.
Si los vectores v1, v2, v3, ..., vn en u si V puede expresarse como:
V = c1v1 + c2v2 + c3v3 +... + cnvn donde c son escalares del cuerpo h.
Envolvente Lineal:
Este es el conjunto de todas las combinaciones lineales semejantes denotado por Lin(v1, v2, ..., vn) y se 
denomina envolvente lineal de u1, u2, ...,un.
Siendo S un sub conjunto de un espacio vectorial V entonces Lin S es un sub conjunto de un espacio vectorial V 
y si W es un subconjunto de V que contiene a S, necesariamente Lin S es complemento de W.

Propiedades De Los Vectores

Propiedades De Los Vectores Definici'n de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas caracter'sticas que son: Origen O tambi'n denominado Punto de aplicaci'n. Es el punto exacto sobre el que act'a el vector. M'dulo Es la longitud o tama'o del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cu'l es el m'dulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Direcci'n Viene dada por la orientaci'n en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qu' lado de la l'nea 
de acci'n se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estar' formado por un origen y tres 
ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posici'n de un punto cualquiera con exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores 
unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen m'dulo 1, son perpendiculares entre 
s' y corresponder'n a cada uno de los ejes del sistema de referencia.
Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario 
o tambi'n denominado 

Del mismo modo, al eje Y, le corresponder' el vector unitario 
o tambi'n denominado 

Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario 
o tambi'n denominado 

Por tanto, obtendr'amos un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente forma:

Magnitudes Escalares

Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por 
medio de un n'mero y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras:
Masa
Temperatura
Presi'n
Densidad
Magnitudes vectoriales
Las...

Base de un Espacio Vectorial

Hasta el momento, hemos visto que las relaciones de orden nos ofrecen una forma de organizar los 
subespacios de un espacio vectorial según su contención, en especial, todos los múltiplos escalares de 
un subespacio $ \mathcal{W}\subseteq \mathcal{V}$ forman el menor conjunto que incluye a $ \mathcal{W}$.
Supongamos que para $ \mathcal{W}\subseteq \mathcal{V}$, con $ \mathcal{W}=\{w_1,w_2,\ldots,w_m\}$, todo elemento $ v \in \mathcal{V}$ es 
una combinación lineal de los elementos de $ \mathcal{W}$, es decir:
\begin{displaymath}\begin{array}{l} v=a_1w_1+a_2w_2+\ldots+a_mw_m \mbox{ para }  a_1,a_2,\ldots,a_m \mbox{ escalares.} \end{array}\end{displaymath}
(1)

entonces se dice que $ \mathcal{V}$ es una expansión de $ \mathcal{W}$
Para $ \mathcal{W}=\{w_1,w_2,\ldots,w_m\} \subseteq \mathcal{V}$, decimos que $ \mathcal{W}$ es linealmente dependiente si existen 
escalares $ a_1,a_2,\ldots,a_m$ no todos iguales a 0 tal que:
$\displaystyle a_1w_1+a_2w_2+\ldots+a_mw_m=0.$
(2)

Esto indica que alguno de los elementos de $ \mathcal{W}$ es múltiplo de otro; en caso contrario, 
si la ecuación 2 no se cumple más que para $ a_1=a_2=\ldots=a_m=0$, entonces los elementos 
de $ \mathcal{W}$ son linealmente independientes.
De aquí, si $ \mathcal{V}$ es una expansión de $ \mathcal{W}$ , entonces el conjunto de vectores linealmente
 independientes $ \mathcal{B}\subseteq \mathcal{W}$ forma una base de $ \mathcal{V}$. Con las relaciones de orden sobre $ \mathcal{V}$
podemos encontrar $ \mathcal{B}$como el conjunto de elementos linealmente independientes que generan
 a $ \mathcal{V}$ por medio de todas las posibles combinaciones lineales, así, el número de vectores linealmente 
independiente en $ \mathcal{B}$ dado por$ \left\vert\mathcal{B}\right\vert $ define la dimensión del espacio.

Dimensión de un espacio vectorial

La dimensión de un espacio vectorial (también llamada dimensión de Hamel de un espacio 
vectorial, 
para distinguirla de la dimensión de Hilbert en el caso de los espacios de Hilbert) es la respuesta a la 
pregunta: ¿Cuántos parámetros se necesitan para localizar con toda precisión un punto en este espacio?
Más formalmente la dimensión de un espacio vectorial se define como el cardinal de una base vectorial para 
dicho espacio. Por el axioma de elección todo espacio vectorial no-trivial admite una base vectorial, y puesto 
que puede demostrarse que todas las bases vectoriales tienen el mismo cardinal, el concepto de dimensión 
está bien definido. Convienen notar que existen espacios vectoriales de tanto de dimensión finta como de 
dimensión infinita.

[editar]Introducción

Bien es sabido que sobre una recta donde se ha escogido dos puntos, O(origen) e I(1,0) todo punto, M, 
está perfectamente definido a partir de su abscisa x:
\vec{OM} = x\vec{OI} = x\vec{i}
En un plano (P), se escogen tres puntos distintos O,I e J, y se definen los vectores:

\begin{matrix}
  \vec{i} & = & \vec{OI} \\
  \vec{j} & = & \vec{OJ}
\end{matrix}
y un punto M es localizado por su abscisa x y su ordenada y: M(x, y) significa
\vec{OM}= x\vec{i} + y\vec{j}
Si se cambia el cuerpo de los escalares, de \mathbb{R} a \mathbb{C}, entonces el mismo punto M será deteminado por el 
complejo zM =x + yi, es decir por un solo parámetro.
La dimensión de P es 1 sobre \mathbb{C} y dos sobre \mathbb{R}:

\begin{matrix}
  \dim_\mathbb{C} P & = & 1 \\
  \dim_\mathbb{R} P & = & 2
\end{matrix}
Un plano real es por lo tanto una recta compleja. La apelación plano complejo para designar un plano real 
con escritura compleja de las coordenadas ( x + yi en vez de (x; y) ) es errónea, pero muy común.
El espacio ambiente es tridimensional y se requiere por lo tanto tres reales (xyz) para definir un punto. 
No se le puede considerar como un espacio sobre \mathbb{C}.
En la teoría de la relatividad, se añade una cuarta variable: el tiempo, y un punto (xyzt) de este espacio 
cuadridimensional corresponde a un evento o acontecimiento (lascoordenadas nos dicen donde y cuando 
ocurrió).
En algunas teorías actuales, los físicos trabajan en un modelo del espacio con once dimensiones, pero sobre el 
conjunto de los enteros, y no los real. Como el conjunto \mathbb{Z} de losracionales no es un cuerpo sino un anillo
el espacio no es vectorial (se dice que es un módulo). Sin embargo, la definición de la dimensión es válida 
en tales espacios. En este ejemplo, la mayoría de las dimensiones son enrolladas sobre sí mismas, como 
una serpiente que se muerde la cola. Su curvatura es enorme, pues su radio es microscópico, menor que 
el de un núcleo. Los espacios vectoriales no tienen curvatura.

Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.


DEFINICIÓN 1
Espacio con producto interno.- Un espacio vectorial complejo V se llama espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un número complejo único (u,v), llamado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y Espacio vectorial
Espacio vectorial
C, entonces
EJEMPLO
Un producto interno en Rn Rn .- es un espacio con producto interno con (u, v)= u * v.
DEFINICIÓN 2
Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v estan en V. Entonces
i. U y v son ortogonales si (u, v) = 0
·  La norma de u, denota por u, esta dada por
U =
Nota: A la u se le pone doble barra para evitar confusión con el valor absoluto
EJEMPLO
Dos vectores ortogonales en C2 En C2 los vectores (3, -1) y (2, 6i) son ortogonales porque
((3, -1), (2, 6i)) = 3*2 + (-i)(6i) = 6 + (-i)(-6i) = 6 -6 = 0 además (3, -i)) = = .
DEFINICIÓN 3
Conjunto ortonormal .- El conjunto de vectores v1, v2, . . ., vn es un conjunto ortonormal en V si
(vi, vj) = 0 para i
y
vi = = 1
DEFINICIÓN 4
Complemento ortogonal.- Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. Entonces el complemento ortogonal de H, denotado por H, está dado por
H = x Espacio vectorial
V : (x, h) = 0 para todo h
Espacio vectorial


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"Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad."
(Albert Einstein.)

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