Matematicas IV: UNIDAD 3

EL CONCEPTO DE MATRIZ

El objeto con que se representan las conexiones en la anterior página es una matriz.
En general, una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas.
Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos,
aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por
números reales.Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.
Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan.
Así, designaremos por a₃₂ el elemento que está situado en la tercera fila y segunda
columna de la matriz A.
El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama
dimensión de la matriz.

Operaciones con matrices

Suma de matrices

Para dos matrices $A = \left( a_{ij} \right)$ y $B = \left( b_{ij} \right)$ de la misma dimensión $m \times n$ , la suma de $A$ y $B$ es la matriz de la misma dimensión $m \times n$ , dada por

$A + B = \left( a_{ij} \right) + \left( b_{ij} \right) = \left( a_{ij} + b_{ij} \right)$

Ejemplo

$A + B = \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_{11 }& a_{12} & a_{13} \\ a_{21 }& a_{22} & a_{23} \\ a_{31 }& a_{32} & a_{33} \end{array} </pre> \right) + \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} b_{11 }& b_{12} & b_{13} \\ b_{21 }& b_{22} & b_{23} \\ b_{31 }& b_{32} & b_{33} \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_{11 } + b_{11 } & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} \\ a_{21 } + b_{21 } & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} \\ a_{31 } + b_{31 } & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33} \end{array} </pre> \right)$

[editar] Propiedades de la suma de matrices

1. Asociativa

$A + \left( <pre> B + C </pre> \right) = \left( <pre> A + B </pre> \right) + C$

2. Elemento neutro. La matriz nula, $0,$ de la dimension correspondiente es el elemento neutro para la suma, ya que:

$A + 0 = 0 + A = A$

3. Elemento opuesto. Para la matriz $A$ existe otra matriz que denotamos por $-A$ y que llamamos matriz opuesta de $A,$ que cumple:

$A + \left( <pre> -A </pre> \right) <pre>= 0 </pre> $

4. Comutativa

$A + B = B + A$

[editar] Producto de un numero por una matriz

Para un número real $k$ y una matriz $A = \left( a_{ij} \right)}$ de dimension $m \times n$ , el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimension $m \times n$ dada por

$k \cdot A = k \cdot \left( a_{ij} \right) = \left( k \cdot a_{ij} \right)$

Es decir, el producto $k \cdot A$ se obtiene multiplicando el numero real por cada uno de los elementos de la matriz.

[editar] Ejemplo

$k \cdot A = k \cdot \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} a_{11 }& a_{12} \\ a_{21 }& a_{22} \\ a_{31 }& a_{32} \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} k \cdot a_{11 }& k \cdot a_{12} \\ k \cdot a_{21 }& k \cdot a_{22} \\ k \cdot a_{31 }& k \cdot a_{32} \end{array} </pre> \right)$

[editar] Producto de matrices

El producto de dos matrices $A = \left( a_{ij} \right)$ de dimension $m \times n$ y $B = \left( b_{ij} \right)$ de dimension $n \times p$ , es la matriz $A \cdot B$ dada por:

$A \cdot B = \left( c_{ij} \right)$

con

$ <pre>c_{ij} = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot b_{jk} </pre> $

Es decir, cada elemento $c_{ik}$ se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz por la columna k-ésima de la segunda matriz.

[editar] Ejemplo

$\left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} </pre> \right) \cdot \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 7 & 8 \\ 9 & 0 \\ -1 & -2 \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot \left( -1 \right) & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot \left( -2 \right) \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot \left( -1 \right) & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -2 \right) \end{array} </pre> \right)$

[editar] Propiedades del producto de matrices

1. El producto de matrices cuadradas es asociativo:

$A \cdot \left( <pre> B \cdot C </pre> \right) = \left( <pre> A \cdot B </pre> \right) \cdot C$

2. El producto de matrices cuadradas de orden $n$ posee como elemento neutro la matriz unidad o identidad $I$ de orden $n$ ya que:

$A \cdot I = I \cdot A = A$

3. El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto de la suma de matrices:

$A \cdot \left( <pre> B + C </pre> \right) <pre>= A \cdot B + A \cdot C </pre> $

Tipos de matrices

* Matriz cuadrada
    * Matriz diagonal
    * Matriz nula
    * Matriz identidad
    * Matriz inversa
    * Matriz permutación
    * Matriz traspuesta
    * Matriz ortogonal
    * Matriz simétrica
    * Matriz antisimétrica
    * Matriz triangular (superior o inferior)
    * Matriz nilpotente
    * Matriz definida positivamente
    * Matriz singular
    * Matriz no singular
    * Matriz banda
    * Matriz de diagonal estrictamente dominante
    * Matriz hermítica
    * Matriz idempotente
    * Matriz normal
    * Matriz jacobiana
    * Matrices elementales
    * Matriz invertible
    * Matriz de adjuntos
    * Matriz involutiva

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A² = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A² = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = A^t.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = -A^t.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A·A^t = I.

Calculo de la Matriz Inversa

Cálculo de la matriz inversa usando determinantes

Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).

Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica:

Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).

Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa

El método de Gauss - Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.

Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangularización superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangularización inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz A(n,n), es un escalar o polinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendo denotado como |A|. El valor numérico es conocido también como modulo de la matriz.

(Nota: En matrices de segundo y tercer orden suele ser utilizado el método conocido como regla de Sarrus.)

A continuación vamos a ver una de las formas de obtener el determinante (método cofactores).

Algoritmo:

siendo n igual al nú:mero de columnas, y Aij es el resultado de eliminar la fila i y la columna j de la matriz original.

Ejemplo de un determinante de segundo orden:

Operando el algoritmo anterior, y teniendo en cuenta que i es siempre 1, obtendremos :

paso 1: a11=1. al eliminar la fila 1 y columna 1 de la la matriz obtenemos |4|, mientras en la suma i+j=2.

paso 2: a12=3 mientras la eliminación de la fila 1 y columna 2 da como resultado |6| y la suma i+j=3.

es decir ...

Si la matriz fuese del tipo:

el determinante es de tercer orden, siendo desarrollo en un primer momento:

después de lo cual resolveríamos el siguiente nivel, resultando ...

y por tanto ...

|A| = 1(5)-(-3)(-20)+(-2)(16) = -87

En SPSS lo explicitamos como:

compute A={1,-3,-2;4,-1,0;4,3,-5}.print (det(A)).

Cuando el determinante de una matriz resulta igual a 0 se dice que la matriz es no singular.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Los determinantes tiene muchas propiedades especiales, alguna de la cuales las enunciamos aquí:

Sea A una matriz cuadrada

1) Si toda entrada en una fila (o columna) es cero entonces .

2) Si una matriz B se forma intercambiando dos fila (o columnas) de A, entonces .

3) Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila ( o columna) de A por un número real k, entonces .

4) Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces

5) Si una matriz B se forma remplazando cualquier fila (o columna) de A por la suma de esa fila (o columna) y k veces cualquier otra fila (o columna) de A, entonces

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Suma de matrices

Ejemplo

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[editar] Ejemplo

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Tipos de matrices

Matriz regular

Matriz singular

Matriz idempotente

Matriz involutiva

Matriz simétrica

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

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