jueves, septiembre 02, 2010

FORMULA DE EULER Y TEOREMA DE MOIVRE

FORMULA DE EULER PARA NUMEROS COMPLEJOS

                    e ^a + bi = e ^a (Cos b + Sen b i)
                   2 e ^ 3πi/5 = 2e ( Cos (3π/5) + Sen (3π/5) i)
Formula de Euler


TEOREMA DE MOIVRE

                               z ^1/n = r ^ 1/n [ Cos ( Ө + 2 kπ/n) + i Sen ( Ө + 2 kπ/n) ]

                                z ^1/n = r ^ 1/n [ Cos ( Ө + 2 π/n) + i Sen ( Ө + 2 π/n) ]



CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO Y REPRESENTACION DE NUMEROS COMPLEJOS EN SU FORMA POLAR

Algo  que en lo personal no me gusta de las matematicas es ver tanto numero, jejejee, y mucho peor sin son numeros que no existen, me amensan jajajajajajajjaja.

En matematicas, cuando ya se refiere a calculo y todos esos rollos ya se ven puros numeros asi, con sus senos, cosenos y tangentes, pi y demas y asi da mas ñañaras jajajajjajaja.

Cuando entre a la carrera de Ingenieria en Sistemas Computacionales me  dio cosa el hecho de saber que llevaria matematicas, 4 semestres de la carrera y dos en tercero que era lo  peor =S, pero la verdad es que con lo que llevo cursando este semestre, que no es mucho, veo que no es tan dificil, bueno eso parece ahorita.
Estos dos temas  usan pi, senos, cosenos y esas cosas y aunque se ve mucho numero, es facil =)

CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO
                    _                   _
z = a + bi     z =a - bi         z  es el conjugado

Como podran darse cuenta el conjuda de un numero complejo simplemente es el cambio del signo de la parte compleja de z:                    _                                 _                                 _
                                  z = i          z = - i           z = - i      z =  i           z= 1          z = 1

Que sucede en z= 1, ¿por que no cambia el signo del uno?, por que el conjugado solo afecta a la parte compleja  del numero, no a la parte real., en realudad lo que  es en z = 1, es esto:
                                                                                  _
                                                  z = 1 + 0 i                z = 1 - 0i

Norma, magrnitud de un vector:                        _
                                                    ll z ll = √ z *  z

Conjugado de numeros complejos


REPRESENTACION DE NUMEROS COMPLEJOS EN SU FORMA POLAR
                                    r = √ a² + b²             θ = tan -¹ (b/a)

Para esto primero se calcula la norma
                                           r = √ a² + b²

Despues el angulo
                           θ = tan -¹ (b/a)



 y ya por ultimo se grafica =)

De estos temas el profe nos ha dejado listas de ejercicios, nos sirve de practica, pero luego son muchos jajajajja, ya no nos deje tantos profee!! jejej =D


                                                               

miércoles, septiembre 01, 2010

Datos importantes, curiosos y relevantes sobre Euler

Pues en la primera entrada del blog ya les pusimos unos links que los llevan a la biografia de Euler y Gauss, los matematicos favoritos de nuestro profe Hector, y pues como ya lo hicimos y aparte no queremos ser como la mayoria de los blogs o paginas que te suben su biografia con un monton de informacion que pues con nuestra experiencia como estudiantes, mucha de ellas solo es para llenar jejejejeje, vamos a evitarnos el escribir una biografia sustentosa de ellos, y solo pondremos los datos mas importantes, curiosos y relevantes de estos dos mateaticos que le aportaron mucho al mundo de las matematicas...

Leonhard Paul Euler

  • Era amigo de la familia  de matematicos "Bernoulli", Johann Bernoulli influyo mucho en el.
  • Su padre tenia la mirada puesta en que Euler fuera pastor, pero Bernoulli intervino para convencerlo de ser matematico.
  • A los 19 años finalizo su doctorado con una tesis sobre la propagacion del sonido, bajo el titulo "De Sono".
  • El 7 de enero de 1734 contrajo matrimonio con Katharina Gsell, hija de un pintor llegaron concebir hasta trece hijos, sólo cinco sobrevivieron hasta la edad adulta.
  • En Berlin publico dos de sus obras mas importantes "la Introductio in analysin infinitorum", un texto sobre las funciones matemáticas publicado en 1748, y "la Institutiones calculi differentialis", publicada en 1755, trataba sobre el cálculo diferencial.
  • Uno de sus libros que fue mas leido fue " Cartas de Euler sobre distintos temas de Filosofía Natural dirigidas a una Princesa Alemana. " que fueron la recopilacion de las cartas que Euler escribia a la princesa Anhalt-Dessau, la sobrina de Federico, donde hablaba de fisica y matematicas y una vision de su personalidad y creencias religiosas.
  • Tuvo discusiones metafísicas con Voltaire, de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la retórica y la metafísica.
  • En el año 1735 Euler sufrió una fiebre casi fatal, y tres años después quedó casi ciego de su ojo derecho. Euler prefería acusar de este hecho al trabajo de cartografía que realizaba para la Academia de San Petersburgo.
  • más tarde sufrió cataratas en su ojo sano, el izquierdo, lo que le dejó prácticamente ciego pocas semanas después de su diagnóstico.
  • Sus problemas de visión no afectaron su productividad intelectual, dado que lo compensó con su gran capacidad de cálculo mental y su memoria fotográfica.
  • A pesar de su ceguera era capaz de repetir la Eneida de Virgilio desde el comienzo hasta el final y en cada página de la edición era capaz de indicar qué línea era la primera y cuál era la última.
  • Se sabía de memoria las fórmulas de trigonometría y las primeras 6 potencias de los primeros 100 números primos
  • Euler fallecio el 18 de septiembre de 1783 tras sufrir un ictus, fue enterrado junto con su esposa en el Cementerio Luterano ubicado en la isla de Vasilievsky.
  • el cementerio en el que fue enterrado Euler fue destruido por los soviéticos, trasladaron sus restos al monasterio ortodoxo de Alejandro Nevski.
  • Euler trabajó en todas las áreas de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y otras áreas de la física
  • La recopilación y publicación completa de sus trabajos, fue llamada Opera Omnia, comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a publicar 76 volúmenes.
  • Si se imprimieran todos sus trabajos ocuparian entre 60 y 80 volumenes, y nisiquiera se ha estudiado un 10% de sus escritos.
  • introdujo el concepto de funcion matematica, siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x.
  • introdujo la notación moderna de las funcion trigonometrica, la letra e como base del logaritmo natural, la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios y la letra i para hacer referencia a la unidad imaginaria.
  • En Fisica introdujo el concepto "característica de Euler del espacio", y una fórmula que relacionaba el número de lados, vértices y caras de un polígono convexo con esta constante. El teorema de poliedros de Euler, que consiste en buscar una relación entre número de caras, aristas y vértices en los poliedros.
  • En su honor, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos.
  • En su honor un asteroide recibio su nombre "Euler"
Caricatura hecha por Joaquin, es el profe Hector =)

lunes, agosto 30, 2010

OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS COMPLEJOS

Suma:       z + z' = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
                 z = (2,3) + z'=  (5,6)
                z + z' = (2+5, 3+6) = (7,9).
ejemplo: Suma de Numeros Complejos


Resta:     z - z'= (a,b) - (c,d) = (a-c, b-d)
                 z = (2,3) - z' = (5,6)
             z - z' = (2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3)

ejemplo: Resta de Numeros Complejos

Multiplicacion: z * z' = ( a, bi ) (c,di ) 
                       z * z' = a (c + di ) + bi (c + di )
                       z * z' = a * c + a * di +bi * c + b * di^2             i = raiz-1 =  i ^2 = -1
                      z * z' = a * c + a * di + bi * c + b * d (-1)                                                                             
                       z * z' = a c - b d + ( a d + c b) i

ejemplo: Multiplicacion de Numeros Complejos


                             _          _
Division : z/z' = z * z' / z' * z'

ejemplo : Division de Numeros Complejos

Pues es solo las operaciones basicas de las matematicas aplicada en los numeros complejos, no es dificil, no me lo parecio, pero solo hay que saber como se hace jeje

NUMEROS COMPLEJOS: Definicion y Origen

En Matematicas IV nos enfocamos a los numeros  complejos, el mundo de los numeros  imaginarios, pero ¿que es un numero complejo?...

Llamamos "Numero Complejo"  a un par de ordenado de numeros reales
Z= (a, b)
siendo a y b numeros reales.
El conjunto  de los numeros  complejos es representado por C.

Su representacion grafica se obtiene considerando unos ejes cartesianos en el plano.


A cada número complejo z=(a,b) le asociamos un vector de

origen el punto Q(0,0) y extremo el punto P(a,b).

Recíprocamente, a cada vector de origen Q(0,0) y extremo el

punto P(a,b) le asociamos el número complejo z=(a,b).

Afijo de z es el punto P(a,b)

Al eje de absacisas QX se le suele llamar eje real, y al eje de ordenadas QY eje imaginario.


 
Esta parte no es dificil de comprender, hasta para mi  que las matematicas me odian jajjajaja, no en realidad a pesar de que cuando, hablando de mi, escucho  la palabra numeros complejos o imaginarios y matematicas me da cosa!! =S, pero cuando empiezas a aprender y adentrarte en las matematicas, ya no se ven tan feas jajajaja, esta unidad es facil, nuestro profe dice que en si, matematicas IV es facil, pero una que no sabe se preocupa jajaja, pero esta unidad es facil, quizas la mas facil de todo el temario, pero eso  lo sabremos hasta que lleguemos mas adelante.

Por lo mientras, hablando de los numeros complejos y su definicion, viene de la mano aquellos que aportaron con sus descubrimientos y conocimientos al mundo de las matematicas y los heroes de nuestro profe Hector =).

Para conocerlos a ellos y sus descubrimientos, conocimientos,  aportes, etc, has clik en el enlace =D  

Biografia de Carl Friedrich Gauss : Fisico, Matematico y Astronomo, desde pequeño poseia una prodigiosa capacidad para las matematicas, fue apodado "El Principe de las Matematicas"

Leonhard Euler: Nombre completo Leonhard Paul Euler, fisico matematico suizo, considerado el matematico mas importante del siglo XVIII y uno de los mas grandes de todos los tiempos, a pesar de su perdida de la vista